Die Äquivalenz von Masse und Energie

Herleitung

Ausgehend von der Massenzunahme bei hohen Geschwindigkeiten müssen wir die Newton'schen Bewegungsgleichungen anders formulieren. Wir betrachten hier, daß die Kraft die Ableitung des Impulses nach der Zeit ist:

Wir lösen die Gleichung unter Verwendung der Produktregel für Ableitungen auf, und erweitern das erste Glied mit dv, um ausklammern zu können:

Da der Quotient dm/dv ungleich null ist, muß die Beschleunigung a = dv/dt bei konstanter Kraft nicht konstant bleiben.
Wir gehen davon aus, daß die Beschleunigungsarbeit als kinetische Energie erhalten bleibt:

Wir setzen für F den obigen erhaltenen Term ein und ersetzen ds durch v × dt, wodurch wir kürzen können:

Wir setzen nun in v und m ein und leiten ab:
Formel

Nun fassen wir zusammen und bringen die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:
Formel

Wir fassen nun weiter zusammen, multiplizieren aus und ermitteln die Stammfunktion:
Formel

Nun müssen wir noch einsetzen und erhalten das Ergebnis:
Formel

Für den Minuenden können wir auch m×c² schreiben. Wir formen das Ergebnis noch etwas um und erhalten dann:

Formel

m × c² = E_kin + m₀ × c²

Gesamtenergie = kinetische Energie + Ruheenergie

Da sich diese Überlegung von Einstein auch auf andere Bereiche übertragen lässt (z.B. Compton-Effekt) können wir ganz allgemein sagen:

Jeder Energieform ist eine Masse zugeordnet: E = m × c²