Trägheit der Masse

Herleitung - Formel

Um die Jahrhundertwende stellte man bei Versuchen mit schnellen Elektronen fest, daß der Quotient e/m mit zunehmender Geschwindigkeit der Teilchen kleiner wurde. Da eine Änderung der Ladung nicht in Frage kam, mußte eine Massenzunahme für die Versuchsergebnisse verantwortlich sein.

Die Physiker Kaufmann und Bucherer schloßen aus dieser Annahme für die Masse des Elektrons bei einer bestimmten Geschwindigkeit v unter Annahme einer Ruhemasse m₀ des Elektrons:

Herleitung

Wir wollen nun versuchen, diese Formel allgemein für Massen herzuleiten, unter Verwendung unserer bisherigen Ergebnisse und Erfahrungen!

In unserem Gedankenversuch betrachten wir eine Balkenwaage, die sich auf einem beliebigen Körper mit der Beschleunigungskraft a_g befindet. Auf der Balkenwaage befinden sich zwei Körper K₁ und K₂, die sich jeweils mit der Geschwindigkeit u von einem sich im Aufhängepunkt der Waage befindlichen, ruhenden Beobachter R entfernen. Sie tun dies so, daß die Waage stets im Gleichgewicht bleibt.
Ein zweiter Beobachter B entfernt sich ebenfalls mit der Geschwindigkeit u von R, so daß für ihn der Eindruck entsteht, der Körper K₁ würde sich in Ruhe befinden. Der Beobachter und die beiden Körper haben ihre Bewegung zum Zeitpunkt t_B = 0 gestartet. Die Relativgeschwindigkeit zwischen B und K₂ sei v. Sie ist nicht gleich 2×u, da wir die relativistische Geschwindigkeitsaddition berücksichtigen wollen bzw. müssen.

Zum Zeitpunkt t_B stellt sich für B der Sachverhalt folgendermaßen dar:

	K₁	K₂
Geschwindigkeitsbetrag	0	v
Masse	m₀	m_v
Hebelarm	u × t_B	v×t_B - u×t_B

Für beide Beobachter gilt daß Hebelgesetz, da beide Inertialbeobachter sind. Für B lautet es:

m₀ × g × u × t_B = m_v × g × (v × t_B - u × t_B)
Wir teilen die gesamte Gleichung durch (g × t_B) und erhalten:
m₀ × u = m_v × (v - u)
Wir lösen die Gleichung nach m₀ auf:

Da wir relativistisch rechnen wollen, gilt für v:

Wir formen diese Gleichung um, indem wir zu einem einfachen Bruch zusammenfassen:
Umformung

Wir multiplizieren zunächst kreuzweise aus und multiplizieren dann die gesamte mit v durch:
v × c² + v × u² = 2 × u × c²
v² × c² + v² × u² = 2 × u × v × c²
Wir versuchen nun, die Gleichung umzustellen, um mit einer quadratischen Ergänzung weiter aufläsen zu können:
v² × c² - 2 × u × v × c² = - v² × u²
Wir ergänzen den Faktor u²×c², fassen zusammen und Klammern aus:
v² × c² - 2 × u × v × c² + u² × c² = - v² × u² + u² × c²
c² × (v - u)² = u² × (c² - v²)
Wir teilen die gesamte Gleichung durch (u² × c²), ziehen dann die Wurzel.

Formel

Das Ergebnis setzen wir in unsere obige Gleichung ein:

Wenn wir die Gleichung nun noch nach m_v auflösen, erhalten wir die Gleichung, die Kaufmann und Bucherer bereits für die Elektronen erhielten, aufgrund unserer allgemeinen Herleitung gilt sie jedoch für alle Körper.

Diese Tatsache, daß ein Körper mit zunehmender Geschwindigkeit immer schwerer wird, wirkt sich natürlich auch auf die Newton'schen Bewegungsgleichungen und die Impulsgleichungen aus! Dies führt uns auch schon zu einem weiteren Phänomen der Relativitätstheorie.