Die Zeitdilatation

Aus dem Dopplerfaktor folgen viele weitere interessante und wichtige Phänomene:

Wir wollen ein Ereignis betrachten, daß von zwei Inertialbeobachtern gesehen wird:

Der Beobachter A sendet ständig Signale aus. Das Signal t₁ wird von B beantwortet, da zum Zeitpunkt t_B(X) das Ereignis X stattfindet. A fängt das Signal zum Zeitpunkt t₂ = k × t_B(X) auf. Der von ihm ermittelte Ereigniszeitpunkt t_A(X) stimmt jedoch nicht mit dem von B ermittelten Zeitpunkt überein:

t_A(X) = x × t_B(X) Für t_A(X) ermittelt A:
t_A(X) = ½ × (t₁ + t₂)
Wir ersetzen t₁ und t₂ durch t_B(X):
t_A(X) = ½ × (1/k × t_B(X) + k × t_B(X))
Wir klammern t_B(X) aus und lösen nach t_B(X) auf:
t_B(X) = [2 × k / (1 + k²)] × t_A(X)

Wir setzen den Dopplerfaktor k in den Term 2× k / (1 + k²) ein und lösen auf:

Wir bringen den Nennerbruch auf einen gemeinsamen Nenner und kürzen die zwei.
Formel

Wir schreiben den Bruch unter ein Wurzelzeichen, kürzen und multiplizieren aus:

Wir teilen nun noch durch c² und erhalten einen Faktor, der uns später noch öfters begegnet:

Wir setzen oben ein:

Der Unterschied zwischen A und B liegt im Meßverfahren:

B mißt mit einer mitgeführten Uhr
A mißt mit relativ zueinander ruhenden Systemuhren oder ermittelt die Zeit aus der Rückkehrzeit von Signalen

Daraus folgern wir:

Bewegte Uhren gehen langsamer